Poincaré conjecture

Poincaré conjecture

Компактная двумерная поверхность без границы топологически гомеоморфна двумерной сфере, если каждую петлю можно непрерывно сжимать до точки. Гипотеза Пуанкаре утверждает, что то же самое верно для трехмерных пространств.
Поле	Геометрическая топология
Выдвинуто	Henri Poincaré
Высказанная в	1904
Первое доказательство с помощью	Григорий Перельман
Первое доказательство в	2002
Подразумевается под	Гипотеза геометризации Гипотеза Зеемана[1]
Обобщения	Обобщенная гипотеза Пуанкаре

В математической области геометрической топологии, то Пуанкаре (Великобритания: /ˈршікæreɪ/,^[2] нами: /ˌршікɑːˈРeɪ/,^[3][4] [pwkakaee] Французский:) - это теорема о характеристике 3-сферы, которая является гиперсферой, ограничивающей единичный шар в четырехмерном пространстве.

Первоначально выдвинутая Анри Пуанкаре в 1904 году, теорема касается пространств, которые локально выглядят как обычное трехмерное пространство, но которые конечны по протяженности. Пуанкаре выдвинул гипотезу, что если такое пространство обладает дополнительным свойством, заключающимся в том, что каждую петлю в пространстве можно непрерывно сжимать до точки, то это обязательно трехмерная сфера. Попытки разрешить гипотезу привели к значительному прогрессу в области геометрической топологии в течение 20 века.

Окончательное доказательство, основанное на программе Ричарда С. Гамильтона по использованию потока Риччи для решения задачи. Разработав ряд новых методов и результатов в теории потоков Риччи, Григорий Перельман смог модифицировать и дополнить программу Гамильтона. В статьях, размещенных в репозитории arXiv в 2002 и 2003 годах, Перельман представил свою работу, доказывающую гипотезу Пуанкаре (и более мощную гипотезу геометризации Уильяма Терстона). В течение следующих нескольких лет несколько математиков изучали его статьи и подготовили подробные формулировки его работы.

Работа Гамильтона и Перельмана над этой гипотезой широко признана важной вехой математических исследований. Гамильтон был отмечен премией Шоу и премией Лероя П. Стила за выдающийся вклад в исследования. Журнал Science отметил доказательство Перельманом гипотезы Пуанкаре как научный прорыв года в 2006 году.^[5] Математический институт Клэя, включив гипотезу Пуанкаре в свой хорошо известный список задач на премию тысячелетия, предложил Перельману свою премию в размере 1 миллиона долларов США за разрешение гипотезы..^[6] Он отклонил награду, заявив, что вклад Гамильтона был равен его собственному.^[7][8]

История[редактировать]

Вопрос Пуанкаре[редактировать]

Этот раздел нуждается в дополнительных цитатах для проверки. Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив в этот раздел ссылки на надежные источники. Материалы без источников могут быть оспорены и удалены. (Март 2016) (Узнайте, как и когда удалять это сообщение-шаблон)

Анри Пуанкаре работал над основами топологии — того, что позже будет названо комбинаторной топологией, а затем алгебраической топологией. Его особенно интересовало, какие топологические свойства характеризуют сферу.

В 1900 году Пуанкаре утверждал, что гомология, инструмент, который он разработал на основе предыдущей работы Энрико Бетти, был достаточным, чтобы определить, является ли 3-многообразие 3-сферой. Однако в статье 1904 года он описал контрпример к этому утверждению, пространство, которое теперь называется сферой гомологии Пуанкаре. Сфера Пуанкаре была первым примером сферы гомологии, многообразия, которое имело ту же гомологию, что и сфера, из которых с тех пор были построены многие другие. Чтобы установить, что сфера Пуанкаре отличается от 3-сферы, Пуанкаре ввел новый топологический инвариант, фундаментальную группу, и показал, что сфера Пуанкаре имеет фундаментальную группу порядка 120, в то время как 3-сфера имеет тривиальную фундаментальную группу. Таким образом, он смог прийти к выводу, что эти два пространства действительно были разными.

В той же статье Пуанкаре задавался вопросом, должно ли 3-многообразие с гомологией 3-сферы, а также тривиальная фундаментальная группа быть 3-сферой. Новое условие Пуанкаре, то есть "тривиальная фундаментальная группа", может быть переформулировано как "каждый цикл может быть сокращен до точки".

Первоначальная формулировка была следующей:

Рассмотрим компактное трехмерное многообразие V без границы. Возможно ли, что фундаментальная группа V может быть тривиальной, даже если V не гомеоморфно трехмерной сфере?

Пуанкаре никогда не заявлял, считает ли он, что это дополнительное условие будет характеризовать 3-сферу, но, тем не менее, утверждение, что оно соответствует, известно как гипотеза Пуанкаре. Вот стандартная форма гипотезы:

Каждое односвязное, замкнутое 3-многообразие гомеоморфно 3-сфере.

"Замкнутый" здесь означает, как обычно в этой области, условие компактности с точки зрения заданной топологии, а также отсутствия границы (трехмерное евклидово пространство является примером односвязного 3-многообразия, не гомеоморфного 3-сфере; но оно не компактно и, следовательно, не является контрпримером).

Решения[редактировать]

В 1930-х годах Дж. Х. К. Уайтхед заявил о доказательстве, но затем отказался от него. В процессе он обнаружил несколько примеров односвязных (действительно сжимаемых, т. е. гомотопически эквивалентных точке) некомпактных 3-многообразий, не гомеоморфных ${\displaystyle {\mathbb{�}}^3}$, прототип которых теперь называется многообразием Уайтхеда.

В 1950-х и 1960-х годах другие математики пытались доказать эту гипотезу только для того, чтобы обнаружить, что они содержат недостатки. Влиятельные математики, такие как Жорж де Рам, Р. Х. Бинг, Вольфганг Хакен, Эдвин Э. Мойз и Кристос Папакириакопулос, попытались доказать гипотезу. В 1958 году Р. Х. Бинг доказал слабую версию гипотезы Пуанкаре: если каждая простая замкнутая кривая компактного 3-многообразия содержится в 3-шаре, то многообразие гомеоморфно 3-сфере.^[9] Бинг также описал некоторые подводные камни при попытке доказать гипотезу Пуанкаре.^[10]

Влодзимеж Якобше показал в 1978 году, что, если гипотеза Бинга–Борсука верна в размерности 3, то гипотеза Пуанкаре также должна быть верна.^[11]

Со временем эта гипотеза приобрела репутацию особенно сложной в решении. Джон Милнор прокомментировал, что иногда ошибки в ложных доказательствах могут быть "довольно тонкими и их трудно обнаружить".^[12] Работа над гипотезой улучшила понимание 3-многообразий. Эксперты в этой области часто неохотно объявляли доказательства и, как правило, относились к любому такому объявлению со скептицизмом. В 1980-х и 1990-х годах были опубликованы некоторые широко разрекламированные ошибочные доказательства (которые на самом деле не были опубликованы в рецензируемой форме).^[13][14]

Описание попыток доказать эту гипотезу можно найти в нетехнической книге Премия Пуанкаре Джорджа Шпиро.^[15]

Измерения[редактировать]

Классификация замкнутых поверхностей дает утвердительный ответ на аналогичный вопрос в двух измерениях. Для измерений, превышающих три, можно сформулировать обобщенную гипотезу Пуанкаре: является ли гомотопическая n-сфера гомеоморфной n-сфере? Необходимо более сильное предположение; в размерностях четыре и выше существуют односвязные замкнутые многообразия, которые не гомотопически эквивалентны n-сфере.

Исторически, хотя гипотеза в третьем измерении казалась правдоподобной, обобщенная гипотеза считалась ложной. В 1961 году Стивен Смейл шокировал математиков, доказав обобщенную гипотезу Пуанкаре для измерений, больших четырех, и расширил свои методы для доказательства фундаментальной теоремы о н-кобордизме. В 1982 году Майкл Фридман доказал гипотезу Пуанкаре в четырех измерениях. Работа Фридмана оставила открытой возможность того, что существует гладкое четырехмерное многообразие, гомеоморфное четырехсфере, которое не диффеоморфно четырехсфере. Эта так называемая гладкая гипотеза Пуанкаре в четвертом измерении остается открытой и считается очень сложной. Экзотические сферы Милнора показывают, что гладкая гипотеза Пуанкаре неверна, например, в седьмом измерении.

Эти более ранние успехи в более высоких измерениях оставили случай с тремя измерениями в подвешенном состоянии. Гипотеза Пуанкаре была по существу верна как в четвертом измерении, так и во всех более высоких измерениях по существенно разным причинам. В третьем измерении гипотеза имела неопределенную репутацию, пока гипотеза геометризации не поместила ее в структуру, управляющую всеми 3-многообразиями. Джон Морган написал:^[16]

Я считаю, что до работы Терстона над гиперболическими 3-многообразиями и ... гипотезой геометризации среди экспертов не было консенсуса относительно того, была ли гипотеза Пуанкаре истинной или ложной. После работы Терстона, несмотря на тот факт, что она не имела прямого отношения к гипотезе Пуанкаре, сложился консенсус в отношении того, что гипотеза Пуанкаре (и гипотеза геометризации) были верны.

Программа и решение Гамильтона[редактировать]

Программа Гамильтона была начата в его статье 1982 года, в которой он представил поток Риччи на многообразии и показал, как использовать его для доказательства некоторых частных случаев гипотезы Пуанкаре.^[17] В последующие годы он расширил эту работу, но не смог доказать гипотезу. Фактическое решение не было найдено до тех пор, пока Григорий Перельман не опубликовал свои статьи.

В конце 2002 и 2003 годов Перельман опубликовал три статьи о arXiv.^[18][19][20] В этих статьях он набросал доказательство гипотезы Пуанкаре и более общую гипотезу, гипотезу геометризации Терстона, завершая программу потока Риччи, изложенную ранее Ричардом С. Гамильтоном.

С мая по июль 2006 года несколько групп представили документы, в которых подробно описывались доказательства Перельманом гипотезы Пуанкаре, а именно:

• Брюс Кляйнер и Джон В. Лотт опубликовали статью на arXiv в мае 2006 года, в которой подробно описали доказательство гипотезы геометризации Перельманом, следуя частичным версиям, которые были общедоступны с 2003 года.^[21] Их рукопись была опубликована в журнале "Геометрия и топология" в 2008 году. В 2011 и 2013 годах было внесено небольшое количество исправлений; например, в первой версии их опубликованной статьи использовалась неправильная версия теоремы Гамильтона о компактности для потока Риччи.
• Хуай-Дон Цао и Си-Пин Чжу опубликовали статью в июньском номере "Азиатского математического журнала" за 2006 год с изложением полного доказательства гипотез Пуанкаре и геометризации.^[22] Во вступительном абзаце их статьи говорилось

В этой статье мы представим теорию потока Риччи Гамильтона-Перельмана. Основываясь на этом, мы дадим первый письменный отчет о полном доказательстве гипотезы Пуанкаре и гипотезы геометризации Терстона. Хотя полная работа представляет собой совокупность усилий многих геометрических аналитиков, основными авторами, несомненно, являются Гамильтон и Перельман.

Некоторые наблюдатели интерпретировали Цао и Чжу как ставящие себе в заслугу работу Перельмана. Позже они опубликовали исправленную версию с новой формулировкой на arXiv.^[23] Кроме того, страница их изложения была по существу идентична странице в одном из ранних общедоступных черновиков Кляйнера и Лотта; это также было исправлено в исправленной версии вместе с извинениями редакции журнала.

• Джон Морган и Ган Тянь опубликовали статью на arXiv в июле 2006 года, в которой дали подробное доказательство только гипотезы Пуанкаре (что несколько проще, чем гипотеза полной геометризации)^[24] и расширили это до книги.^[25][26]

Все три группы обнаружили, что пробелы в работах Перельмана были незначительными и могли быть восполнены с использованием его собственных методов.

22 августа 2006 года ICM наградил Перельмана медалью Филдса за его работу над потоком Риччи, но Перельман отказался от медали.^[27][28] Джон Морган выступил в ICM с докладом о гипотезе Пуанкаре 24 августа 2006 года, заявив, что "в 2003 году Перельман решил гипотезу Пуанкаре".^[29]

В декабре 2006 года журнал Science признал доказательство гипотезы Пуанкаре прорывом года и поместил его на обложку.^[5]

Поток Риччи с хирургическим вмешательством[редактировать]

Программа Гамильтона для доказательства гипотезы Пуанкаре включает в себя сначала наложение римановой метрики на неизвестное односвязное замкнутое 3-многообразие. Основная идея состоит в том, чтобы попытаться "улучшить" эту метрику; например, если метрику можно улучшить настолько, чтобы она имела постоянную положительную кривизну, то согласно классическим результатам римановой геометрии, это должна быть 3-сфера. Гамильтон прописал "Уравнения потока Риччи" для улучшения метрики;

${\displaystyle {\mathrm{\partial }}_{�}{�}_{��}=-2{�}_{��}}$

где g - метрика, а R - ее кривизна Риччи, и можно надеяться, что по мере увеличения времени t многообразие становится более понятным. Поток Риччи расширяет часть многообразия с отрицательной кривизной и сжимает часть с положительной кривизной.

В некоторых случаях Гамильтону удавалось показать, что это работает; например, его первоначальным прорывом было показать, что если риманово многообразие всюду имеет положительную кривизну Риччи, то описанной выше процедуре можно следовать только для ограниченного интервала значений параметров, ${\displaystyle �\in [0,�)}$ с , и, что более важно, что существуют числа ${\displaystyle {�}_{�}}$ такие, что при ${\displaystyle �\nearrow �}$ риманова метрика ${\displaystyle {�}_{�}�(�)}$ плавно сходится к метрике постоянной положительной кривизны. Согласно классической римановой геометрии, единственным односвязным компактным многообразием, которое может поддерживать риманову метрику постоянной положительной кривизны, является сфера. Итак, по сути, Гамильтон показал частный случай гипотезы Пуанкаре: если компактное односвязное 3-многообразие поддерживает риманову метрику положительной кривизны Риччи, то оно должно быть диффеоморфно 3-сфере.

Если вместо этого иметь только произвольную риманову метрику, уравнения течения Риччи должны приводить к более сложным особенностям. Главным достижением Перельмана было показать, что, если смотреть с определенной точки зрения, если они появляются за конечное время, эти сингулярности могут выглядеть только как сжимающиеся сферы или цилиндры. С количественным пониманием этого явления он разрезает многообразие вдоль особенностей, разбивая многообразие на несколько частей, а затем продолжает поток Риччи на каждой из этих частей. Эта процедура известна как поток Риччи с хирургическим вмешательством.

Перельман предоставил отдельный аргумент, основанный на потоке сокращения кривой, чтобы показать, что на односвязном компактном 3-многообразии любое решение потока Риччи с хирургическим вмешательством исчезает за конечное время. Альтернативный аргумент, основанный на теории минимальных поверхностей min-max и теории геометрических мер, был представлен Тобиасом Колдингом и Уильямом Миникоцци. Следовательно, в односвязном контексте все, что имеет значение, - это вышеупомянутые явления течения Риччи за конечное время при хирургическом вмешательстве. Фактически, это верно даже в том случае, если фундаментальная группа является свободным произведением конечных групп и циклических групп.

Это условие для фундаментальной группы оказывается необходимым и достаточным для исчезновения за конечное время. Это эквивалентно утверждению, что простое разложение многообразия не имеет ациклических компонент и оказывается эквивалентным условию, что все геометрические части многообразия имеют геометрию, основанную на двух геометриях Терстона S²×R и S³. В контексте того, что никто не делает никаких предположений о фундаментальной группе вообще, Перельман провел дальнейшее техническое исследование предела многообразия для бесконечно больших времен и, таким образом, доказал гипотезу геометризации Терстона: на больших временах многообразие имеет разложение толщиной в толщину, толстая часть которого имеет гиперболическую структуру, а тонкая часть представляет собой графовое многообразие. Однако из-за результатов Перельмана, Колдинга и Миникоцци эти дальнейшие результаты не нужны для доказательства гипотезы Пуанкаре.

Решение[редактировать]

Этот раздел нуждается в дополнительных цитатах для проверки. Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив в этот раздел ссылки на надежные источники. Материалы без источников могут быть оспорены и удалены. (Октябрь 2013) (Узнайте, как и когда удалять это сообщение-шаблон)

13 ноября 2002 года российский математик Григорий Перельман опубликовал первую из серии из трех электронных публикаций на arXiv с изложением решения гипотезы Пуанкаре. В доказательстве Перельмана используется модифицированная версия программы потока Риччи, разработанной Ричардом С. Гамильтоном. В августе 2006 года Перельман был награжден, но отказался, медалью Филдса (стоимостью 15 000 канадских долларов) за свою работу над потоком Риччи. 18 марта 2010 года Математический институт Клэя присудил Перельману премию тысячелетия в размере 1 миллиона долларов в знак признания его доказательства.^[30][31] Перельман также отклонил эту премию.^[7][32]

Перельман доказал гипотезу, деформировав многообразие с использованием потока Риччи (который ведет себя аналогично уравнению теплопроводности, описывающему диффузию тепла через объект). Поток Риччи обычно деформирует многообразие в сторону более округлой формы, за исключением некоторых случаев, когда он растягивает многообразие отдельно от себя в направлении так называемых особенностей. Затем Перельман и Гамильтон разрезают многообразие по сингулярностям (процесс, называемый "хирургией"), в результате чего отдельные части формируются в шарообразные формы. Основные этапы доказательства включают в себя показ того, как ведут себя многообразия, когда они деформируются потоком Риччи, изучение того, какие особенности возникают, определение того, может ли этот хирургический процесс быть завершен, и установление того, что операцию не нужно повторять бесконечно много раз.

Первым шагом является деформирование многообразия с использованием потока Риччи. Поток Риччи был определен Ричардом С. Гамильтоном как способ деформирования многообразий. Формула для потока Риччи является имитацией уравнения теплопроводности, которое описывает, как тепло течет в твердом теле. Как и тепловой поток, поток Риччи стремится к равномерному поведению. В отличие от теплового потока, поток Риччи может столкнуться с особенностями и перестать функционировать. Особенность в многообразии - это место, где оно не поддается дифференцированию: например, угол, острие или защемление. Поток Риччи был определен только для гладких дифференцируемых многообразий. Гамильтон использовал поток Риччи, чтобы доказать, что некоторые компактные многообразия диффеоморфны сферам, и он надеялся применить его для доказательства гипотезы Пуанкаре. Ему нужно было понять особенности.^{[требуется цитирование]}

Гамильтон составил список возможных особенностей, которые могли бы образоваться, но он был обеспокоен тем, что некоторые особенности могут привести к трудностям. Он хотел разрезать многообразие в сингулярностях и вставить заглавными буквами, а затем снова запустить поток Риччи, поэтому ему нужно было понять сингулярности и показать, что определенные виды сингулярностей не возникают. Перельман обнаружил, что все особенности были очень простыми: представьте, что цилиндр образован путем "растягивания" окружности вдоль линии в другом измерении, повторение этого процесса со сферами вместо окружностей по существу дает вам форму особенностей. Перельман доказал это, используя нечто, называемое "Уменьшенным объемом", которое тесно связано с собственным значением определенного эллиптического уравнения.

Иногда сложная операция сводится к умножению на скаляр (число). Такие числа называются собственными значениями этой операции. Собственные значения тесно связаны с частотами вибрации и используются при анализе известной задачи: слышите ли вы форму барабана? По сути, собственное значение подобно ноте, которую играет многообразие. Перельман доказал, что эта нота возрастает, когда многообразие деформируется потоком Риччи. Это помогло ему устранить некоторые из наиболее проблемных особенностей, которые беспокоили Гамильтона, в частности, решение сигарного солитона, которое выглядело как нить, торчащая из многообразия, с другой стороны которой ничего не было. По сути, Перельман показал, что все образующиеся нити можно обрезать и перекрыть, и ни одна не торчит только с одной стороны.

Завершая доказательство, Перельман берет любое компактное, односвязное трехмерное многообразие без границ и начинает запускать поток Риччи. Это деформирует многообразие на круглые части с нитями, проходящими между ними. Он разрезает нити и продолжает деформировать многообразие, пока, в конце концов, у него не остается набора круглых трехмерных сфер. Затем он перестраивает исходное многообразие, соединяя сферы вместе трехмерными цилиндрами, преобразует их в круглую форму и видит, что, несмотря на всю первоначальную путаницу, многообразие было, по сути, гомеоморфно сфере.

Сразу же возник вопрос, как можно быть уверенным, что бесконечно много разрезов не требуется. Это было поднято из-за того, что сокращение, возможно, будет продолжаться вечно. Перельман доказал, что этого не может произойти, используя минимальные поверхности на многообразии. Минимальная поверхность - это поверхность, на которой любая локальная деформация увеличивает площадь; знакомый пример - мыльная пленка, натянутая на изогнутую проволочную петлю. Гамильтон показал, что площадь минимальной поверхности уменьшается по мере того, как многообразие подвергается течению Риччи. Перельман проверил, что произошло с площадью минимальной поверхности, когда многообразие было разрезано. Он доказал, что, в конечном счете, площадь настолько мала, что любой разрез после такой малой площади может быть только отрезанием трехмерных сфер, а не более сложных кусков. Это описано как битва с Гидрой Сормани в книге Шпиро, цитируемой ниже. Эта последняя часть доказательства появилась в третьей и заключительной статье Перельмана по этому вопросу.

Ссылки[редактировать]

Читать далее[редактировать]

• Kleiner, Bruce; Lott, John (2008). "Заметки о работах Перельмана". Геометрия и топология. 12 (5): 2587–2855. arXiv:математика /0605667. doi:10.2140/gt.2008.12.2587. МИСТЕР 2460872. S2CID 119133773.
• Хуай-Дон Цао; Си-Пин Чжу (3 декабря 2006 г.). "Доказательство Гамильтоном-Перельманом гипотезы Пуанкаре и гипотезы геометризации". arXiv:math.DG/0612069.
• Морган, Джон У.; Тянь, Ган (2007). Поток Риччи и гипотеза Пуанкаре. Монографии Клэя по математике. Том 3. Провиденс, RI: Американское математическое общество. arXiv:математика /0607607. ISBN 978-0-8218-4328-4. MR 2334563.
• О'Ши, Донал (2007). Гипотеза Пуанкаре: в поисках формы Вселенной. Уокер и компания. ISBN 978-0-8027-1654-5.
• Перельман, Гриша (11 ноября 2002 г.). "Формула энтропии для потока Риччи и ее геометрические приложения". arXiv:math.DG/0211159.
• Перельман, Гриша (10 марта 2003 г.). "Поток Риччи с хирургическим вмешательством на трех многообразиях". arXiv:math.DG/0303109.
• Перельман, Гриша (17 июля 2003 г.). "Конечное время исчезновения решений потока Риччи на некоторых трехмерных многообразиях". arXiv:math.DG/0307245.
• Шпиро, Джордж (2008). Премия Пуанкаре: столетний поиск решения одной из величайших математических головоломок. Шлейф. ISBN 978-0-452-28964-2.
• Стиллвелл, Джон (2012). "Пуанкаре и ранняя история 3-многообразий". Бюллетень Американского математического общества. 49 (4): 555–576. doi:10.1090/ S0273-0979-2012-01385- X. МИСТЕР 2958930.
• Яу, Шинг-Тунг; Надис, Стив (2019). Форма жизни: поиски одним математиком скрытой геометрии Вселенной. Нью-Хейвен, Коннектикут: Издательство Йельского университета. ISBN 978-0-300-23590-6. MR 3930611.

Внешние ссылки[редактировать]

• "Гипотеза Пуанкаре" – программаBBC Radio 4в наше время, 2 ноября 2006 года. Авторы Джун Барроу-Грин, преподаватель истории математики в Открытом университете, Ян Стюарт, профессор математики в Уорикском университете, Маркус дю Саутой, профессор математики в Оксфордском университете, и ведущий Мелвин Брэгг.